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|00000bd0| 77 65 20 67 65 74 20 61 | 20 6e 75 6d 62 65 72 20 |we get a| number |
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|00000c00| 77 65 20 67 65 74 20 61 | 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 |we get a| formula|
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|00003e40| 73 69 6e 7d 28 5c 2c 7b | 78 7d 5c 2c 29 5c 2c 7b |sin}(\,{|x}\,)\,{|
|00003e50| 78 7d 20 2b 20 34 5c 2c | 7b 78 7d 0a 5c 5d 0a 5c |x} + 4\,|{x}.\].\|
|00003e60| 65 6e 64 7b 6d 61 70 6c | 65 6c 61 74 65 78 7d 0a |end{mapl|elatex}.|
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|00003eb0| 72 65 20 4c 69 62 72 61 | 72 79 0a 69 73 20 69 6e |re Libra|ry.is in|
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|00003ed0| 65 6d 20 4e 65 77 73 20 | 61 6e 64 20 41 6e 6e 6f |em News |and Anno|
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|00004080| 44 7d 28 5c 2c 7b 66 7d | 2c 20 31 5c 2c 29 0a 5c |D}(\,{f}|, 1\,).\|
|00004090| 5d 0a 5c 65 6e 64 7b 6d | 61 70 6c 65 6c 61 74 65 |].\end{m|aplelate|
|000040a0| 78 7d 0a 44 6f 65 73 20 | 74 68 65 20 70 72 6f 63 |x}.Does |the proc|
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|000040c0| 20 63 6f 6d 70 75 74 65 | 20 24 66 27 24 3f 0a 49 | compute| $f'$?.I|
|000040d0| 6e 20 74 68 69 73 20 63 | 61 73 65 20 77 65 20 63 |n this c|ase we c|
|000040e0| 61 6e 20 5c 65 6d 70 68 | 7b 70 72 6f 76 65 7d 20 |an \emph|{prove} |
|000040f0| 74 68 61 74 20 69 74 20 | 64 6f 65 73 20 62 79 20 |that it |does by |
|00004100| 65 78 65 63 75 74 69 6e | 67 20 74 68 65 20 70 72 |executin|g the pr|
|00004110| 6f 63 65 64 75 72 65 0a | 6f 6e 20 73 79 6d 62 6f |ocedure.|on symbo|
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|00004130| 69 6e 20 65 66 66 65 63 | 74 20 63 6f 6e 76 65 72 |in effec|t conver|
|00004140| 74 69 6e 67 20 74 68 65 | 20 66 75 6e 63 74 69 6f |ting the| functio|
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|000041f0| 7b 5c 72 6d 20 73 69 6e | 7d 28 5c 2c 7b 78 7d 5c |{\rm sin|}(\,{x}\|
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|00004210| 0a 20 2d 20 7b 5c 72 6d | 20 50 44 7d 28 5c 2c 7b |. - {\rm| PD}(\,{|
|00004220| 66 7d 2c 20 31 5c 2c 29 | 28 5c 2c 7b 78 7d 5c 2c |f}, 1\,)|(\,{x}\,|
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|000042b0| 24 20 61 6e 64 20 6f 6e | 65 20 63 61 6c 6c 65 64 |$ and on|e called|
|000042c0| 20 74 68 65 20 70 72 6f | 63 65 64 75 72 65 0a 77 | the pro|cedure.w|
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|000042e0| 61 72 61 6d 65 74 65 72 | 2c 20 20 62 75 74 0a 75 |arameter|,  but.u|
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|00004300| 69 6f 6e 73 20 63 6f 75 | 6c 64 20 6f 6e 65 20 64 |ions cou|ld one d|
|00004310| 69 66 66 65 72 65 6e 74 | 69 61 74 65 20 61 20 0a |ifferent|iate a .|
|00004320| 70 72 6f 63 65 64 75 72 | 65 20 69 6e 76 6f 6c 76 |procedur|e involv|
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|00004370| 69 66 20 74 68 65 20 70 | 72 6f 63 65 64 75 72 65 |if the p|rocedure|
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|000043a0| 49 74 20 74 75 72 6e 73 | 20 6f 75 74 20 74 68 61 |It turns| out tha|
|000043b0| 74 20 74 68 65 20 61 6e | 73 77 65 72 20 74 6f 20 |t the an|swer to |
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|000043d0| 2c 20 73 75 72 70 72 69 | 73 69 6e 67 6c 79 2c 20 |, surpri|singly, |
|000043e0| 79 65 73 2e 0a 41 6e 64 | 20 6d 6f 72 65 6f 76 65 |yes..And| moreove|
|000043f0| 72 2c 20 74 68 65 72 65 | 20 65 78 69 73 74 73 20 |r, there| exists |
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|000044c0| 0a 69 6e 20 74 68 65 20 | 70 72 6f 63 65 64 75 72 |.in the |procedur|
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|000044e0| 69 24 20 61 72 65 20 6c | 6f 63 61 6c 20 76 61 72 |i$ are l|ocal var|
|000044f0| 69 61 62 6c 65 73 20 6f | 72 20 66 6f 72 6d 61 6c |iables o|r formal|
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|00004510| 63 65 64 65 20 69 74 20 | 62 79 20 24 76 5f 78 20 |cede it |by $v_x |
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|00004550| 76 5f 6e 29 24 20 69 73 | 20 6f 62 74 61 69 6e 65 |v_n)$ is| obtaine|
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|00004580| 6f 74 73 20 2c 20 76 5f | 6e 29 24 0a 66 6f 72 6d |ots , v_|n)$.form|
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|000045f0| 74 20 73 74 61 74 65 6d | 65 6e 74 20 28 6f 72 20 |t statem|ent (or |
|00004600| 61 6e 79 20 52 45 54 55 | 52 4e 20 76 61 6c 75 65 |any RETU|RN value|
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